STRUKTUR ALJABAR: RING PDF

10d ago
1 Views
0 Downloads
467.98 KB
41 Pages
Transcription

STRUKTUR ALJABAR:RINGBAHAN AJAROleh:Rippi MayaProgram Studi Magister Pendidikan MatematikaSekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan(STKIP) SILIWANGI - Bandung2016

1Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajarihimpunan dengan dua operasi.Ilustrasi 1.1Perhatikan himpunan(a) Apakah55 0,1, 2,3, 4 .grup terhadap operasi penjumlahan? Jelaskan pendapatmu!Gunakan tabel Cayley bila perlu!(b) Apakah pada5berlaku sifat komutatif pada penjumlahan?(c) Apakah pada5berlaku sifat asosiatif terhadap perkalian?(d) Selidiki pula apakah pada5berlaku sifat distributif kiri dan kanan?Jelaskan pendapatmu!(e) Perhatikan jawabmu pada (a) – (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamutemukan dalam5.Ilustrasi 1.2 a b Perhatikan himpunan M 2 ( ) a, b, c, d . c d (a) Apakah M 2 grup terhadap operasi penjumlahan? Jelaskan pendapatmu!Gunakan tabel Cayley bila perlu!(b) Apakah pada M 2 berlaku sifat komutatif pada penjumlahan?(c) Apakah pada M 2 berlaku sifat asosiatif terhadap perkalian?Rippi Maya: Draft Ring

2(d) Selidiki pula apakah pada M 2 berlaku sifat distributif kiri dan kanan?Jelaskan pendapatmu!(f)Perhatikan jawabmu pada (a) – (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang terdapatdalam M 2 .Jika himpunan dengan operasi penjumlahan membentuk grup komutatif danterhadap operasi perkalian memenuhi sifat asosiatif dan distributif, maka himpunandengan dua operasi biner tersebut dikenal sebagai ring. Berikut ini adalah definisiring secara rinci.Definisi 1.1RingRing R adalah suatu himpunan dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan(dinyatakan dengan a b) dan perkalian (dinyatakan dengan ab), sehingga untuksemua a,b,c di R, berlaku sifat-sifat berikut:1.a b b a.2. a b c a b c .3.Terdapat elemen 0 di R sehingga a 0 a .4.Terdapat elemen –a di R sehingga a a 0.5. ab c a bc .6.a b c ab ac dan b c a ba ca.Latihan 1.1Perhatikan kembali definisi ring secara keseluruhan. Apakah pada ring berlakusifat komutatif pada perkalian? Adakah elemen kesatuan dan invers perkalian padaring? Jelaskan pendapatmu!Latihan 1.2Perhatikan sifat asosiatif pada ring. Dengan adanya sifat tersebut, apakah kita dapatmenuliskan operasinya sebagai ab c a bc abc , tanpa tanda kurung? Jelaskanpendapatmu.Rippi Maya: Draft Ring

3Latihan 1.3Perhatikan sifat distributif pada ring. Sifat a b c menyatakan bahwa kita dapatmenjumlahkan terlebih dahulu baru diikuti dengan perkalian kiri. Akan sama sajadengan perkalian kiri dahulu diikuti dengan penjumlahan. Berikan komentar Andamengenai b c a .Ilustrasi 1.3Suatu ring yang mempunyai sifat komutatif pada perkalian disebut ring komutatif.Bila suatu ring mempunyai elemen kesatuan terhadap perkalian, maka dikatakanring tersebut mempunyai elemen kesatuan (unity). Bila suatu elemen tak nol padasuatu ring komutatif (dengan elemen kesatuan), mempunyai invers terhadapperkalian, maka dikatakan elemen tak nol tersebut sebagai satuan (unit) dari ringtersebut. Dengan kata lain, misalkan a elemen ring komutatif R, dengan a 0 ,maka a dikatakan unit dari ring R bila a 1 ada.Jika a dan b adalah anggota ring komutatif R dan a tak nol, dikatakan a membagi b(a faktor dari b) dan ditulis a b , jika ada elemen c di R sehingga b ac. Bila tidakdemikian, maka dikatakan a tidak membagi b, ditulis a b.Latihan 1.4Perhatikan himpunan bilangan bulatApakahsuatu ring? Bila ya, apakahdengan operasi penjumlahan dan perkalian.suatu ring komutatif? Jelaskan alasanmudan tentukan elemen kesatuan dan satuan dari, bila ada!Latihan 1.5Apakah himpunan bilangan bulat modulo n,n 0,1, 2,., n 1 , dengan operasipenjumlahan dan perkalian, merupakan ring komutatif? Apakah ia mempunyaielemen kesatuan? Apakah mempunyai satuan? Jelaskan pendapatmu!Rippi Maya: Draft Ring

4Latihan 1.6Apakah himpunan bilangan bulat genap 2 , dengan operasi penjumlahan danperkalian, merupakan ring komutatif? Carilah elemen kesatuannya, bila ada!Latihan 1.7Himpunan semua matriks 2 2, M 2 ( ) , dengan elemen-elemennya (entries)adalah bilangan bulat, merupakan ring nonkomutatif, dengan elemen kesatuannya 1 0 adalah . Selidiki kebenaran pernyataan tersebut! 0 1 Latihan 1.8Himpunan dari semua fungsi kontinu bernilai real dari suatu variabel real yanggrafiknya melalui titik (1,0), adalah ring komutatif tanpa elemen kesatuan,terhadap operasi penjumlahan dan perkalian titik demi titik [yaitu operasi( f g )(a) f (a) g (a) dan ( fg )(a) f (a) g (a) ]. Benarkah pernyataan tersebut?Jelaskan pendapatmu!Ilustrasi 1.4Misalkan R1 , R2 ,., Rn adalah ring. MisalkanR1 R2 . Rn a1 , a2 ,., an ai Ri ,dengan penjumlahan perkomponen didefinisikan sebagai berikut: a1 , a2 ,., an b1, b2 ,., bn a1 b1, a2 b2 ,., an bn , danperkalian perkomponen didefinisikan sebagai berikut: a1, a2 ,., an b1, b2 ,., bn a1b1, a2b2 ,., anbn .Ring yang demikian ini disebut sebagai jumlah langsung (direct sum) dariR1 , R2 ,., Rn .Rippi Maya: Draft Ring

51.1 Sifat-sifat RingTeorema 1.1 Aturan PerkalianMisalkan a,b, dan c anggota ring R. Maka,1.a0 0a 02.a( b) ( a)b (ab)3.( a)( b) ab4.a(b c) ab ac dan (b c)a ba caSelanjutnya, jika R mempunyai elemen kesatuan 1, maka5.( 1)a a6.( 1)( 1) 1.Latihan 1.9Buktikan teorema tersebut.Petunjuk:1. Gunakan sifat a0 a(0 0) dan invers terhadap penjumlahan.2. Mulailah dengan a0 a( b b) dan sifat 1.3. Untuk aturan 3-6, mulailah membuktikan dari informasi yang kamuketahui.Latihan 1.10Berikan sebuah contoh suatu ring nonkomutatif yang berhingga.Latihan 1.11Misalkan R sebuah ring. Buktikan bahwa a 2 b2 a b a b untuk semua a, bdi R jika dan hanya jika R komutatif.Latihan 1.12Tunjukkan bahwa jika m dan n bilangan bulat dan a dan b elemen dari ring, maka m a n b mn ab . Petunjuk: m a a a . a .mRippi Maya: Draft Ring

6Teorema 1.2 Ketunggalan dari Elemen kesatuan dan InversJika suatu ring mempunyai elemen kesatuan, maka tunggal. Jika setiap unsur disuatu ring mempunyai invers, maka tunggal.Latihan 1.13Buktikan Teorema 1.2 tersebut.Latihan 1.14Selidiki apakah ring A 0, 2, 4, 6,8 terhadap penjumlahan dan perkalian modulo10 mempunyai elemen kesatuan. Carilah tersebut, bila ada!Latihan 1.15Misalkan R ring dengan elemen kesatuan 1 dan a adalah elemen dari R sehinggaa 2 1 . Misalkan S ara r R . Buktikan bahwa S ring dengan operasi yangsama dari R. Apakah S memuat 1?1.2 SubringIlustrasi 1.5Perhatikan ring6. Himpunan A 0, 2, 4 adalah subset dariA merupakan ring darihimpunan66. Periksa apakah. Carilah elemen kesatuannya, bila ada. Perhatikan pula, yang merupakan subset dari ringkatakan tentang hubungan antaraDefinisi 1.266dan1212. Apakah yang dapat kamu? Jelaskan pendapatmu.SubringSuatu subset S dari suatu ring R adalah subring dari R jika S sendiri ring denganoperasi dari R.Rippi Maya: Draft Ring

7Latihan 1.16Tunjukkan bahwa 2 3bukan subring dari.Latihan 1.17Jelaskan mengapa setiap subgrup darisubring darinnterhadap penjumlahan juga merupakan.Teorema 1.3 Tes SubringSubset tak kosong S dari ring R adalah subring jika S tertutup terhadappengurangan dan perkalian, yaitu jika a b dan ab terdapat di S bilamana a dan bada di S.Latihan 1.18Buktikan teorema tersebut.Petunjuk: gunakan tes subgrup satu tahap.Latihan 1.19Misalkan M 2 sebuah ring dari semua matriks ukuran 2x2 yang beranggotakan a a b bilangan bulat. Misalkan R a, b . Selidiki apakah R subringb a b dari M 2 .Latihan 1.20F adalah ring, tetapi F \ 0 , juga membentuk grup. Selidiki eksistensi danketunggalan persamaan linier ax b c .Latihan 1.21Persamaan linier di ring R dengan a, b, c R adalah ax b c. Selidiki kapanpersamaan linier tersebut mempunyai jawab dan kapan jawab tersebut tunggal.Rippi Maya: Draft Ring

82.1. Pembagi Nol, Integral Domain dan LapanganIlustrasi 2.1. Pembagi NolPerhatikan himpunan5dengan operasi penjumlahan dan perkalian.merupakan ring komutatif.1.Selidiki apakah2.Buatlah tabel Cayley untuk3.Perhatikan unsur-unsur dalam tabel tersebut. Apakah 2 membagi 3? Sebutkan55terhadap operasi perkalian.unsur pembagi 3 yang selain 2.4.Apakah 4 membagi 1? Adakah unsur pembagi 1 selain 4? Perhatikan, bilaab 1 , maka dikatakan a membagi 1 atau b membagi 1. Demikian pula apembagi 1 atau b pembagi 1. Apakah syarat agar a atau b dikatakan pembagisuatu bilangan? Jelaskan pendapatmu.5.Misalkan a 5, a 0 . Dapatkah kamu temukan b 5, b 0 , sedemikiansehingga ab 0? Dengan kata lain, dapatkah kamu menemukan pembagi nola dalam6.5? Jelaskan pendapatmu.Periksa apakah dalam6terdapat elemen pembagi nol? Jelaskan jawabmu.Definisi 2.1. Pembagi NolPembagi nol adalah suatu elemen tak nol a dari suatu ring komutatif R sedemikiansehingga ada suatu elemen tak nol b R dengan ab 0 .Latihan 2.1.Tuliskan elemen-elemen dariSebutkan pula unit dariRippi Maya: Draft Ring1010dan sebutkan pembagi-pembagi nol dalam10. Periksa apakah ada hubungan antara pembagi nol

9dengan unit daridari1010. Apakah yang dapat kamu simpulkan tentang elemen-elementersebut?Latihan 2.2.Misalkan a dan b adalah elemen-elemen dari suatu ring, yang mempunyai sifat: adan b adalah pembagi nol, a b 0 , dan a b bukan pembagi nol. Carilahbeberapa ring yang memenuhi sifat-sifat demikian dan sebutkan elemen a dan bnya.Latihan 2.3.Misalkan a dan b adalah elemen suatu ring komutatif dan ab adalah pembagi nol.Tunjukkan bahwa a atau b adalah pembagi nol.Latihan 2.4.Jika a dan b bukan pembagi nol, buktikan bahwa ab bukan pembagi nol.Latihan 2.5.Tentukan pembagi nol dalam Z5 i a bi a, b Z5 , dengan i 2 1.Ilustrasi 2.2. Integral DomainPerhatikan kembali Ilustrasi 2.1 tentangperkalian. Apakah55dengan operasi penjumlahan danmerupakan ring komutatif? Apakahkesatuan? Sebutkan elemen kesatuannya. Apakah55mempunyai elemenmempunyai unsur pembaginol? Bila ya, sebutkan unsur pembagi nolnya. Selidiki pula himpunan6,7,9,11, dan15. Jelaskan jawabmu.Ring komutatif yang mempunyai elemen kesatuan, tetapi tidak mempunyai elemenpembagi nol disebut sebagai integral domain. Dari Ilustrasi 2.2 tersebut dapatRippi Maya: Draft Ring

10disimpulkan bahwa5,7,11merupakan integral domain. Perhatikan definisiintegral domain berikut ini.Definisi 2.2. Integral domainIntegral domain adalah suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan dan tanpaelemen pembagi nol.Latihan 2.6.Selidiki apakahn, ring bilangan bulat modulo n, adalah integral domain. Jika nadalah bilangan prima p, apakahpintegral domain? Jelaskan jawabmu.Latihan 2.7.Berikan dua contoh ring (selain ring bilangan bulat modulo n) yang merupakanintegral domain dan bukan integral domain.Latihan 2.8.Berikan contoh ring komutatif tanpa pembagi nol yang bukan integral domain.Latihan 2.9.Tunjukkan bahwa suatu ring komutatif berhingga dengan tanpa pembagi nol danpaling sedikit mempunyai dua elemen, mempunyai suatu elemen kesatuan.Latihan 2.10.Tunjukkan bahwa a, b a, b adalah bukan integral domain.Latihan 2.11.Periksa apakah ringb)Periksa pula apakah ringdomain.Rippi Maya: Draft Ring merupakan integral domain.2 a, b merupakan integral 2 a b 2 a, b a)n 2 a b n

11Rippi Maya: Draft Ring

12Ilustrasi 2.3. NilpotenMisalkan a adalah elemen suatu ring R dengan elemen kesatuan. Elemen adikatakan nilpoten jika a n 0, untuk n bilangan bulat positif. Periksa apakah 0 1 0 0 1 A dan B 0 0 1 merupakan nilpoten. Jelaskan jawabmu. 0 0 0 0 0 Latihan 2.12.Tunjukkan bahwa 0 adalah satu-satunya elemen nilpoten dalam integral domain.Latihan 2.13.Tunjukkan bahwa elemen nilpoten dalam suatu ring komutatif membentuk suatusubring.Ilustrasi 2.4. IdempotenSuatu elemen a dari suatu ring disebut idempoten jika a 2 a. Selidiki apakah 1 0 0 0 0 A dan B 0 1 0 merupakan idempoten. Jelaskan jawabmu.00 0 0 1 Latihan 2.14.Buktikan bahwa satu-satunya idempoten dalam suatu integral domain adalah 0 atau1.Teorema 2.1. PembatalanMisalkan a, b, dan c adalah elemen-elemen suatu integral domain. Jika a 0 danab ac , maka b c.Latihan 2.15.Buktikan Teorema 2.1 tersebut.Petunjuk: mulailah dari persamaan ab ac.Rippi Maya: Draft Ring

13Latihan 2.16.Tunjukkan bahwa suatu ring komutatif dengan sifat pembatalan (terhadap operasiperkalian) tidak mempunyai pembagi nol.Ilustrasi 2.5.Perhatikan ring A 0,3, 6,9 yang merupakan subring dari bilangan bulat modulo12. Selidiki apakah ring A tersebut merupakan ring komutatif. Apakah elemenkesatuannya? Apakah setiap elemen taknolnya adalah unit (mempunyai invers)?Perhatikan juga ring R 0, 2, 4, 6,8 terhadap penjumlahan dan perkalian modulo10. Selidiki apakah R merupakan ring komutatif. Adakah elemen kesatuannya?Selidiki pula apakah setiap elemen taknolnya mempunyai invers.Bila ring A dan R tersebut merupakan ring komutatif, yang mempunyai elemenkesatuan dan setiap elemennya tak nolnya mempunyai invers, maka A dan Rdikatakan lapangan. Perhatikan definisi berikut ini.Definisi 2.3. LapanganLapangan adalah suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan, di mana setiapelemen taknolnya adalah suatu unit (mempunyai invers).Latihan 2.17.Selidiki apakah suatu lapangan merupakan integral domain.Latihan 2.18. Tes SublapanganMisalkan F adalah lapangan dan K adalah subset dari F yang mempunyai palingsedikit dua elemen. Buktikan bahwa K adalah sub lapangan dari F jika untuksebarang a,b (b 0) di K, a b dan ab 1 adalah elemen K.Rippi Maya: Draft Ring

14Latihan 2.19.Misalkan F adalah lapangan berorde 32. Tunjukkan bahwa satu-satunyasublapangan dari F adalah F sendiri dan 0,1 .Teorema 2.2. Integral domain Berhingga adalah LapanganSuatu integral domain berhingga adalah suatu lapangan.Latihan 2.20.Buktikan Teorema 2.2 tersebut.Petunjuk:1. Misalkan D adalah integral domain berhingga dengan elemen kesatuan 1.2. Misalkan a D, a 0. Tunjukkan bahwa a adalah unit.3. Selidiki untuk a 1 dan a 1.Latihan 2.21.Tuliskan elemen-elemen dari2 i a bimodulo 2. Buatlah tabel perkalian untuka, b 2 i .2 , ring bilangan bulat GaussSelidiki apakah ring tersebutmerupakan integral domain atau lapangan.Latihan 2.22.Misalkan a dan b adalah elemen-elemen dari suatu lapangan berorde 8 dan bahwaa2 ab b2 0 . Buktikan bahwa a 0 dan b 0. Bila lapangannya berorde 2n ,dengan n ganjil, buktikan pula bahwa a 0 dan b 0.Akibat:padalah suatu lapanganUntuk setiap bilangan prima p, ring dari bilangan bulat modulo p (suatu lapangan.Rippi Maya: Draft Ringp), adalah

15Latihan 2.23.Buktikan Akibat dari Teorema 2.2 tersebut.Petunjuk:1.Berdasarkan Teorema 2.2, buktikan bahwaptidak mempunyai pembaginol.2.Misalkan a, b pdan ab 0. Ambil ab pk , k dan tunjukkan bahwaa 0 atau b 0.Latihan 2.24.Tunjukkan bahwa7[ 3] {a b 3 a, b 7} adalah suatu lapangan. Untuksebarang bilangan bulat k dan bilangan prima p, dapatkah kamu menentukan suatukondisi yang perlu dan cukupp[ k ] { a b k a, b p} agar membentuksuatu

dengan perkalian kiri dahulu diikuti dengan penjumlahan. Berikan komentar Anda mengenai b c a . Ilustrasi 1.3 Suatu ring yang mempunyai sifat komutatif pada perkalian disebut ring komutatif . Bila suatu ring mempunyai elemen kesatuan terhadap perkalian, maka dikatakan ring tersebut mempunyai elemen kesatuan (unity ).