MATRIKS Dan PENERAPANYA DALAM EKONOMI PDF

10d ago
2 Views
0 Downloads
657.41 KB
43 Pages
Transcription

MATRIKS Dan PENERAPANYA DALAM EKONOMIMakalah Ini Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika EkonomiDosen Pengampu : Muhamad Irpan Nurhab, S.Si.,M.SiDisusun Oleh:Kelompok 2NamaNPMAnjas Sari1602040005Devi Monicha1602040078Feri Permadi1602040190Ferly Oktavianti1602040091Muhammad Ansori1602040117Siti Nur Aminah1602040152KELAS CPROGRAM STUDI EKONOMI SYARIAHFAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS ISLAMINSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)JURAI SIWO METRO20181

KATA PENGANTARPuji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat-Nyasehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami jugamengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dari pihak yang telahberkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya.Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan danpengalaman bagi para pembaca. Untuk kedepannya dapat memperbaiki bentukmaupun manambah isi makalah agar menjadi lebih baik.Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami.Kami yakinmasih banyak kekurangan dalam makalah ini. Oleh karena itu kami sangatmengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demikesempurnaan makalah ini.Metro, 08 Mei 2018Penyususnii

DAFTAR ISIHALAMAN DEPAN . iKATA PENGANTAR . iiDAFTAR ISI . iiiBAB I PENDAHULUANA. LATAR BELAKANG . 1BAB II PEMBAHASANA. MATRIKS1. DEFINISI KONSEP . 22. OPERASI MATRIKS . 43. PENULISAN SISTEM PERSAMAAN LINIERDENGAN MATRIKS . 84. UJI KEBERADAAN MATRIKS INVERSI . 95. MENCARI MATRIKS INVERSI. 146. MATRIKS HESSIAN DAN DETERMINANTNYA . 18B. PENERAPAN MATRIKS1.Manfaat Matriks dan Solusi Sistem Persamaan Linier . 202.Analisis Input Output . 253.Uji Second Order Conditions. 284.Analisis Markov . 325.Latihan Terjawab . 35BAB III PENUTUPA. KESIMPULAN . 39DAFTAR PUSTAKAiii

BAB IPENDAHULUANA. LATAR BELAKANGDalam menghadapi kehidupan sehari hari tanpa disadasri seringkali manusiamenghadapi persoalan, apabila ditelusuri ternyata kebanyakan masalah yangtimbul merupaka masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasaatau persamaan matematika maka persoalan tersebut akan lebih mudahdiselesaikan. Tetap terkadang suatu persoalan seringa kali memuat lebih dari duapersamaan dan bebrapa variabel, sehingga manusiakesulitan untuk mencarihubungan antara variabel variabelnya.Oleh karena itu dengan mariks, pada dasarnya merupakan alat atau instrumenyang cukup ampuh dalam memecahkan persoalan. Dengan menggunakan matriksmemudahkan manusia untuk membuat analisa analisa yang mencakup hubunganvariabel variabel dari suatu persoalan.Dalam hal ini matriks dapat manganalisa serta menjadi solusi persoalanpersoalan yang ada dalam ekonomi. Melalui perumusan dengan menganalisavariabel variabel yang berhubungan dan dituangkan kedalam matematika ekonomimaka masalah yang terjadi dalam eknomi dapat diselesaikan dengan ilmumatematika.1

BAB IIPEMBAHASANA. MATRIKS1. DEFINISI KONSEPMatriks adalah suatu susunan atau penyajian berbentuk segi empatdari sekelompok angka, parameter, atau variabel. Angka-angka (parameteratau variabel) itu dinamakan unsur-unsur matriks. Unsur-unsur yangditempatkan secara mendatar membentuk baris matriks, sedangkan unsurunsur yang ditempatkan secara tegak membentuk kolom matriks. Unsurunsur matriks biasanya diwadahi suatu tanda kurung. Antara unsur yangsatu dengan yang lain tidak dipisahkan dengan tanda koma, tetapi cukupdengan memberikan jarak (ruang kosong).1Banyaknya baris dan kolom secara bersama menunjukkan dimensimatriks. Suatu matriks dengan m baris n kolom dinyatakan memilikidimensi m x n. Dalam penulisan dimensi, banyaknya baris selalu ditaruhdi depan. Jika m n matriksnya dikatakan bujur sangkar. Jika suatumatriks hanya berisi sebuah kolom, jadi dimensinya m x 1, ia dinamakanvektor kolom.Berikut ini adalah contoh penyajian dalam bentuk matriks dari nilainilai ujian tengah semester, makalah, dan ujian akhir semester seorangmahasiswa untuk tiga mata kuliah yang diambil pada semester tertentu.1Sri Mulyono, Matematika Ekonomi Dan Bisnis, Jakarta : Mitra Wacana Media,2017, hlm1202

tika ekonomi dan bisnis567Dasar akuntansi784Manajemen756Matriks ini berdimensi 3 x 3. Untuk keperluan tertentu, matriksbiasanya dilambangkan dengan sebuah huruf agar menjadi lebih ringkas,misalkan simbol untuk matriks itu adalah :A (aij)Subscript ij menunjukkan letak unsur matriks, yaitu unsur pada bariske i dan kolom j. Ini berarti yang dimaksud dengan a22 adalah unsur 8, a23adalah 4 dan seterusnya.Matriks nol, biasa diberi simbol huruf O, adalah matriks yang semuaunsurnya adalah angka nol, dapat berdimensi berapapun, dan tidak perlubujur sangkar.Beberapa contohnya adalah :(0)00000 00 0Matriks identitas adalah suatu matriks bujur sangkar dengan semuaunsur pada diagonal utama dari kiri atas ke kanan bawah adalah angka 1dan semua unsur yang lain adalah angka nol. Matriks ini biasanya dibeerisimbol huruf I, meskipun tidak selalu, dengan subscript jumlah baris ataukolomnya, sehingga :3

13 1 00 10 0001Matriks transpose adalah matriks yang unsur-unsur baris dankolomnya saling di tukarkan, sehingga unsur-unsur baris pertama matriksasal menjadi unsur-unsur kolom pertama matriks transpose, dansebaliknya. Setiap matriks pasti memiliki matriks transpose, yangsimbolnya biasanya ditambahi tanda prime.Contoh :1 24 5′𝐴 3matriks transposenya adalah61 42 53 6Jadi jika Amxn maka a’mxn2. OPERASI MATRIKSJika yang sedang dibicarakan adalah angka, parameter, atau variabelyang berdiri sendiri, kata operasi dapat berarti tambah, kurang, kali, danbagi (kecuali oleh angka nol). Karena sebuah matriks menurut definisinyaadalah suatu susunan, maka cara kerja opersai angka bisa saja berbedadengan operasi matriks dan ap yang berlaku pada operasi angka dapat sajatidak berlaku dalam operasi matriks.Dalam setiap operasi baik untuk angka maupun matriks, selaludilibatkan tanda sama dengan. Dua matriks A (aij) dan B (bij) dikatakansama jika keduanya memiliki dimensi sama dan memiliki unsur-unsur yangsama untuk setiap posisi yang sesuai.4

Contoh :1) A 1 23 4B 1 2dan3 4C 1 32 4Maka A B Cπ‘₯02) A 𝑦 , ini berarti x 0 dan y 11TAMBAH-KURANGDua matriks dapat di tambahkan dan atau dikurangkan, jika merekamemiliki dimensi sama. Jika ditambahkan dan atau dikurangkan, setiapunsur dari suatu matriks ditambah dan atau dikurangi oleh unsur matrikslain posisinya yang sesuai.2Contoh :1)4 21 2 0242 212)4 23 01 2 2 00 12 121 1225 0441Jika suatu matriks ditambah (dikurangi) matriks nol, hasilnyaadalah matriks itu sendiri.A 0 0 A AA–0 APERKALIAN SKALARDalam membahas matriks, sebuah angka, parameter, atau variabelyang berdiri sendir dinamakan skalar. Perkalian skalar dalam sebuah2M.Syahriman Yusi Imron Zahri, Matematika Ekonomi (Teori dan Aplikasi), Jakarta : MitraWacana Media, 2017, hlm1785

matriks dapat dilakukan dengan mengalikan setiap unsur matriks denganskalar itu.Contoh:1) 22612) 244 812268164 1 8 3 2 4Dari dua contoh itu terlihat bahwa peran skalar adalahmemperbesar(memperkecil) matriks dengan suatu kelipatan tertentu.Skalar dapat berupa bilangan pecah maupun negatif. Dalam perkalianini jika skalar diletakan sesudah matriks, hasilya akan sam denganskalar yang diletakkan didepan. Jadi disini berlaku hukum komunitatifk A A k, dimana k adalah skalar.PERKALIAN MATRIKSDalam menghasilkan suatu skalar dengan matriks tidak perlu syaratapapun.3 Ini berbeda dengan erkalian antar matriks. Suatu syarat agardua matriks dapat dikalaikan adalah bahwa banyaknya kolom matriks didepan, Amxnharus sama dengan banyaknya baris matriks yangmengikuti, Bnxp. cara operasinya adalah dengan mengalikan setiapunsur dari vektor baris pada matriks di depan dengan setiap unsurvektor kolom matriks di belakang. Penjumlahan dari perkalian unsurbaris kolom itu merupakan unsur penyusun matriks yang dihasilkan,Cmxp. Perkalian unsur baris kolom itu dinamakan inner products.3M.Syahriman Yusi Imron Zahri, Matematika Ekonomi (Teori dan Aplikasi), Jakarta : MitraWacana Media, 2017, hlm 124-1256

Perhatikan bhwa matriks Cmxp memiliki baris sebanyak baris matriks didepan dan memiliki kolom sebanyak kolom matriks di belakang. Secaraumum unsur-unsur hasil perkalian adalah :Cij π‘›π‘˜ 1 π‘Ž ikbkj dimana i 1,2,.m dan j 1,2.,pContoh:1) ( 1 0 )2 4 1 2 0 5 1 4 0 8 (2 4)5 8A1x2B2X22)2541 0 tak terdefinisi karena tidak memenuhi syarat8B2X2 A1X2Dari kedua contoh terlihat bahwa perkalian matriks tidak mengikutiaturan komutatif, atau AB BA.Jika syaratnya terpenuhi, perkalian suatu matriks dengan matriksnol akan menghasilkan matriks nol dengan dimensi mengikuti aturanperkalian, Amxn, Onxp Omxp. Jika suatu matriks identitas hasilnyaadalah matriks itu sendiri, AmxnIn Amxn. Perkalian antar matriksmatriks identitas yang memenuhi syarat akan menghasilkan matriksidentitas itu sendiri,In InInPEMBAGIANSeperti yang berlaku pada bilangan, operasi tambah, kurang dankali dngan syarat-syarat tertentu juga berlaku pada matriks. Tetapiadalah tidak mungkin membagi suatu matriks dengan matriks yang lain.Suatu bilangan a, jika bilangan-bilangan itu sendiri hasilnya dalahsatu,a/a 1 atau ditulis dengan cara lain a a-1 diman inversi atau7

kebalikan a. Dalam matriks, juga dikenal matriks inversi, dimana suatumatriks A, jika dikalikan matriks inverserinya, A-1 akan menghasilkanmatriks identitas, I Atau, A A-1 A-1 A 1.3. PENULISAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN MATRIKSLihat lagi matriks nilai ujian yang disajikan pada bab sebelumnya.Misalnya bobot ujian tengah, makalh, dan ujian akhir pada penentuan nilaiakhir untu setiapa mata kuliah berturut-turut adalah x1 x2 dan x3. Dengandemikin nilai akhir itu dihitung seperti berikut :Matematika Ekonmi dan Bisnis 5x1 6x2 7 x3 k1Dasar akuntansi7x1 8x2 4x3 k2Manajemen7x1 5x2 6x3 k3Ketiga persamaan dapat dilihat sebagai suatu sistem persamaan linier.Matriks dapat digunakan sebagai alternatif untuk menuliskan sistempersamaan. Ada tiga kelompok dalam sistem persamaan itu. Pertamaadalah nilai ujian tengah semester, makalah, dan ujian akhir semesteruntuk setiap matakuliah, yang dinamakan parameter. Kedua adalah bobotnilai ujiantengah semester, makalah, dan ujian akhir semster, yangdinamakan variabel. Dinamakan variabel karena bobot itu dapat diubauntuk mendapatkan nilai akhir tertentu yang dikehendaki. Ketiga adalahnilai akhir untuk setiap matakuliah , yang dinamakan yang dinamakankonstanta sisi kanan. Jika masing-masing kelompok disusun ddalambentuk matriks dan diberi simbol berturut-turut adalah A,x, dan k makadiperoleh.8

5 6A 7 87 5744X1x X2X3K1dan k K 2K3Dengan memanfaatkan operasi perkalian matriks, sistem persamaanitu dapat di tuliskan menjadi :A3x3 x3xl k3xlDalam bentuk matriks, sistem persamaan itu menjadi sangat ringkas.4. UJI KEBERADAAN MATRIKS INVERSITelah disebutkan bahwa perkalian antara sebuah matriks denganmatriks inversinya, atau sebliknya, akan menghasilkan matriks identitas,A.A-1 A-1 A 1. Apakah setiap matriks memiliki matriks inversinya ?tidak. Matriks yang memiliki matriks inversi harus suatu matriks bujursangkar. Namun kebujursangkaran belum menjamin bahwa suatu matriksselalu memiliki inversinya. Dikatakan dengan cara lain, kebujursangkaranmerupakan necessary condition,tetapi bukan sufficient condition untukkeberadaan matriks inversi.Lantas apa syarat lainnya ? sufficient conditionnya adalah bahwaantarvektor bari (kolom) pada matriks itu bersifat bebas linier (linierlyindependent). Jika syarat kebujursangkaran dan bebas linier dipenuhisecara serentak, matriksnya dikatakan non-singular.Bebas LinierMisalkan suatu matriks Anxn dilihat sebagai susunan dari vektor baris,seperti dituliskan berikut.9

a11a21A an1a12 a1nv1a22 a2n .𝑣2 𝑣𝑛an2 annAntar vektor baris v1, v2, . . . , vn dikatakan tidak bebas linier (linierlyindependent) jika ada salah satu dari skalar k1, k2, . . . , kn yang tidak samadengan nol, demikian hingga :k1 v1 k2 v2 . . . kn vn 0dimana 0 adalah vektor nol. Jika persamaan terakhir itu dipenuhihanya jika seluruh k1, k2, . . . , kn sama dengan nol, maka antar vektor barisv1, v2, . . . , vn dikatakan bebas linier.Contoh :1 41) Diketahui sebuah matriks A 2 3 1 1312Apakah antar vektor baris matriks itu bebas linier ?Tidak, sebab ada skalar k1, k2, dan k3 yang tidak sama dengan nol,demikian hingga :K1 (1 4 3) k2 (2 3 1) k3 (-1 1 2) ( 0 0 0)Yang dapat diketahui melalui perhitungan berikut.Jika unsur-unsur vektor baris sisi kiri disamakan dengan unsur-unsurvektor baris sisi kanan, didapat :K1 k2 – k3 04k1 3k2 k3 03k1 k2 2k3 0Jika hasilnya dikatakan dalam k1 diperoleh k2 -k dan k3 -k1. Iniartinya terdapat sejumlah tak terbatas kombinasi nilai k1, k2, dan k310.

misalkan ditetapkan k1 1 maka k2 -1 dan k3 -1. Jadi karena k1, k2,dan k3 dapat bernilai tidak sama dengan nol, maka antar vektor baris itutidak bebas linier.2) Dari sebuah matriks B 10845Apakah antar vektor baris matriks itu bebas linier ?Jawabnya, ya, seperti yang dijelaskan berikut.K1 (10 4) k2 (8 5) (0 0)10k1 8k2 04k1 5k2 0Penyelesaiannya adalah k1 0 dan k2 0Jadi, karena semua skalar k1 dan k2 sama dengan nol, maka antar vektorbaris itu bebas linier.4DETERMINANTDeterminant adalah suatau anagka yang terkait dengan nilai matriksbujurr sangkar. Determinant biasanya diberi simbol seperti simbolmatriksnya dengan dua garis tegak pada sebelum dan sesudahnya.Determinant dari matriks A biasa ditulis 𝐴 . Determinan berbeda darimetriks dalam tiga hal. Pertama bahwa determinan unsur unsurnya diapitdengan sepasang garsi tegak, sedangkan matriks unsur unsurnya diapitdengan tanda kurung. Kedua, determinan senantiasa berbentuk bujuksangkar (jumlah baris jumlah kolom, m m), sedangkan matriks tidak4M.Syahriman Yusi Imron Zahri, Matematika Ekonomi (Teori dan Aplikasi), Jakarta : MitraWacana Media, 2017, hlm 121-12711

harus demikian. Ketiga, determinan mempunyai nilai numerik tetapi tidakdemikian halnya dengan matriks.5Contoh:MatriksDimensi Matrik

PERKALIAN SKALAR Dalam membahas matriks, sebuah angka, parameter, atau variabel yang berdiri sendir dinamakan skalar. Perkalian skalar dalam sebuah 2 M.Syahriman Yusi Imron Zahri, Matematika Ekonomi (Teori dan Aplikasi), Jakarta : Mitra Wacana Media, 2017, hlm178