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Rechnen mit komplexen Zahlen Stefan Boresch Department of Computational Biological Chemistry Faculty of Chemistry University of Vienna November 12, 2010



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Einleitung
I Problem Was ist die Wurzel einer negativen Zahl 4 Es existiert keine
reelle Zahl x R fu r die x 2 4 gilt
Einleitung
I Problem Was ist die Wurzel einer negativen Zahl 4 Es existiert keine
reelle Zahl x R fu r die x 4 gilt
I Lo sung Imagina re Zahl en Grunddefinition
1 i bzw i 2 1 1
Manchmal wird auch j statt i geschrieben Mit Gl 1 kann Wurzel jeder negativen
reellen Zahl berechnet werden Beispiel
4 4 1 2 i 2i
Der erste Schritt folgt aus den Rechenregeln fu r Potenzen
u Wurzeln im
zweiten Schritt wird einfach i als Abku rzung fu r 1 geschrieben
Einleitung
I Problem Was ist die Wurzel einer negativen Zahl 4 Es existiert keine
reelle Zahl x R fu r die x 4 gilt
I Lo sung Imagina re Zahl en Grunddefinition
1 i bzw i 2 1 1
Manchmal wird auch j statt i geschrieben Mit Gl 1 kann Wurzel jeder negativen
reellen Zahl berechnet werden Beispiel
4 4 1 2 i 2i
Der erste Schritt folgt aus den Rechenregeln fu r Potenzen
u Wurzeln im
zweiten Schritt wird einfach i als Abku rzung fu r 1 geschrieben
I So weit so gut Imagina re Zahlen allein sind jedoch nur ma ig nu tzlich denn mit
imagina ren Zahlen allein kann z B nicht die Wurzel aus positiven Zahlen gezogen
werden Die wirkliche Lo sung besteht aus der Kombination von reellen und
imagina ren Zahlen zu den komplexen Zahlen Symbol C Eine allgemeine
komplexe Zahl z hat die Form
z x i y x y R 2
Man bezeichnet x y als Real und Imagina rteil von z und schreibt
Re z x Im z y
Einleitung
I Problem Was ist die Wurzel einer negativen Zahl 4 Es existiert keine
reelle Zahl x R fu r die x 4 gilt
I Lo sung Imagina re Zahl en Grunddefinition
1 i bzw i 2 1 1
Manchmal wird auch j statt i geschrieben Mit Gl 1 kann Wurzel jeder negativen
reellen Zahl berechnet werden Beispiel
4 4 1 2 i 2i
Der erste Schritt folgt aus den Rechenregeln fu r Potenzen
u Wurzeln im
zweiten Schritt wird einfach i als Abku rzung fu r 1 geschrieben
I So weit so gut Imagina re Zahlen allein sind jedoch nur ma ig nu tzlich denn mit
imagina ren Zahlen allein kann z B nicht die Wurzel aus positiven Zahlen gezogen
werden Die wirkliche Lo sung besteht aus der Kombination von reellen und
imagina ren Zahlen zu den komplexen Zahlen Symbol C Eine allgemeine
komplexe Zahl z hat die Form
z x i y x y R 2
Man bezeichnet x y als Real und Imagina rteil von z und schreibt
Re z x Im z y
I Beispiel a 5 1 3 2 i Re z1 5 1 Im z1 3 2 Jede reelle Zahl ist eine
komplexe Zahl mit Im z 0 bei rein imagina ren Zahlen ist der Realteil null
z B Re 2i 0 Achtung Real und Imagina rteil sind reelle Zahlen
Gau sche Zahlenebene kartesische Darstellung
Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert
3 2 1 0 1 2 3
Gau sche Zahlenebene kartesische Darstellung
Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert
3i z1 2 2 5 i
3 2 1 1 2 3
Zur Darstellung komplexer Zahlen wird die y Achse fu r den Imagina rteil verwendet
Gau sche Zahlenebene kartesische Darstellung
Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert
z2 2 2 5 i 3i z1 2 2 5 i
3 2 1 1 2 3
z3 2 5 2 i
Zur Darstellung komplexer Zahlen wird die y Achse fu r den Imagina rteil verwendet
Die reellen Zahlen sind geordnet z B 2 2 1 Hingegen welche der drei
komplexen Zahlen z1 z2 z3 ist gro er
Gau sche Zahlenebene kartesische Darstellung
Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert
z2 2 2 5 i 3i z1 2 2 5 i
3 2 1 1 2 3
z3 2 5 2 i
Zur Darstellung komplexer Zahlen wird die y Achse fu r den Imagina rteil verwendet
Die reellen Zahlen sind geordnet z B 2 2 1 Hingegen welche der drei
komplexen Zahlen z1 z2 z3 ist gro er Komplexe Zahlen sind nicht geordnet
Gau sche Zahlenebene kartesische Darstellung
Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert
z2 2 2 5 i 3i z1 2 2 5 i
3 2 1 1 2 3
z3 2 5 2 i
Zur Darstellung komplexer Zahlen wird die y Achse fu r den Imagina rteil verwendet
Die reellen Zahlen sind geordnet z B 2 2 1 Hingegen welche der drei
komplexen Zahlen z1 z2 z3 ist gro er Komplexe Zahlen sind nicht geordnet
Was z1 z2 z3 gemeinsam haben ist der gleiche Abstand vom Ursprung
Gau sche Zahlenebene kartesische Darstellung
Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert
3i z1 2 2 5 i
3 2 1 1 2 3
Zur Darstellung komplexer Zahlen wird die y Achse fu r den Imagina rteil verwendet
Die reellen Zahlen sind geordnet z B 2 2 1 Hingegen welche der drei
komplexen Zahlen z1 z2 z3 ist gro er Komplexe Zahlen sind nicht geordnet
Was z1 z2 z3 gemeinsam haben ist der gleiche Abstand vom Ursprung Dies fu hrt
zum Konzept des Betrags z einer komplexen Zahl z Aus der Skizze folgt sofort
z x 2 y 2 3
Rechnen mit komplexen Zahlen I Addition Subtraktion Multiplikation
Alle herko mmlichen Rechenregeln gelten unvera ndert Die Konstante
i 1 wird dabei wie ein beliebiges Symbol wie eine beliebige Variable
behandelt mit dem Unterschied da Ausdru cke wie i 2 1 i 3 i i 4 1
usw natu rlich vereinfacht werden Somit bleiben nur Terme mit und ohne i
u brig diese werden zu Real und Imagina rteil des Ergebnis zusammengefasst
Rechnen mit komplexen Zahlen I Addition Subtraktion Multiplikation
Alle herko mmlichen Rechenregeln gelten unvera ndert Die Konstante
i 1 wird dabei wie ein beliebiges Symbol wie eine beliebige Variable
behandelt mit dem Unterschied da Ausdru cke wie i 2 1 i 3 i i 4 1
usw natu rlich vereinfacht werden Somit bleiben nur Terme mit und ohne i
u brig diese werden zu Real und Imagina rteil des Ergebnis zusammengefasst
I Beispiele a 1 3i b 5 2i
I Addition
a b 1 3i 5 2i 1 3i 5 2i 1 5 3i 2i 6 i
Rechnen mit komplexen Zahlen I Addition Subtraktion Multiplikation
Alle herko mmlichen Rechenregeln gelten unvera ndert Die Konstante
i 1 wird dabei wie ein beliebiges Symbol wie eine beliebige Variable
behandelt mit dem Unterschied da Ausdru cke wie i 2 1 i 3 i i 4 1
usw natu rlich vereinfacht werden Somit bleiben nur Terme mit und ohne i
u brig diese werden zu Real und Imagina rteil des Ergebnis zusammengefasst
I Beispiele a 1 3i b 5 2i
I Addition
a b 1 3i 5 2i 1 3i 5 2i 1 5 3i 2i 6 i
I Subtraktion
a b 1 3i 5 2i 1 3i 5 2i 1 5 3i 2i 4 5i


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